【題目】如圖，在梯形
中，
，
，
，
，四邊形
是菱形，
.
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角
的平面角的正切值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ)
.
【解析】試題分析：
(Ⅰ)由勾股定理可得
，結合面面垂直的性質有
.由菱形的性質可得
，則
平面
，
.
(Ⅱ)取
的中點
，連接
，以
、
、
分別為
、
、
軸建立空間直角坐標系，據此計算可得平面
的法向量
，平面
的法向量
.
則二面角
的平面角的余弦值
，正切值為.
試題解析：
(Ⅰ)依題意，在等腰梯形
中，
，
，
∵
，∴
即，
∵
，∴
，而
，∴.
連接
，∵四邊形
是菱形，∴，
∴
，∵
，∴.
(Ⅱ)取的中點，連接，因為四邊形是菱形，且
.
所以由平面幾何易知
，∵，∴
.
故此可以、、分別為、、軸建立空間直角坐標系，各點的坐標依次為：
，
，
，
，
，
.
設平面和平面的法向量分別為
，
，
∵
，
.
∴由
，令
，則，
同理，求得.
∴，故二面角的平面角的正切值為.
口算與應用題卡系列答案
名師點睛字詞句段篇系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】平面直角坐標系
中，已知橢圓
（
）的左焦點為
，離心率為
，過點且垂直于長軸的弦長為
．
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若過點
的直線與橢圓相交于不同兩點
、
，求
面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
在橢圓
上， 
為橢圓
的右焦點， 
分別為橢圓
的左，右兩個頂點.若過點
且斜率不為0的直線
與橢圓
交于
兩點，且線段
的斜率之積為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知直線
與
相交于點
，證明： 
三點共線.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某食品集團生產的火腿按行業生產標準分成8個等級，等級系數
依次為1，2，3，…，8，其中
為標準
， 
為標準
．已知甲車間執行標準
，乙車間執行標準
生產該產品，且兩個車間的產品都符合相應的執行標準．
（1）已知甲車間的等級系數
的概率分布列如下表，若
的數學期望E(X1)=6.4，求
， 
的值；
X1 | 5 | 6 | 7 | 8 |
P | 0.2 |
|
|
|
（2）為了分析乙車間的等級系數
，從該車間生產的火腿中隨機抽取30根，相應的等級系數組成一個樣本如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用該樣本的頻率分布估計總體，將頻率視為概率，求等級系數
的概率分布列和均值；
（3）從乙車間中隨機抽取5根火腿，利用（2）的結果推斷恰好有三根火腿能達到標準
的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為探索課堂教學改革，江門某中學數學老師用傳統教學和“導學案”兩種教學方式，在甲、乙兩個平行班進行教學實驗。為了解教學效果，期末考試后，分別從兩個班級各隨機抽取20名學生的成績進行統計，得到如下莖葉圖。記成績不低于70分者為“成績優良”。
（Ⅰ）請大致判斷哪種教學方式的教學效果更佳，并說明理由；
（Ⅱ）構造一個教學方式與成績優良列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“成績優良與教學方式有關”?
（附：
，其中
是樣本容量）
獨立性檢驗臨界值表：
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