Question

設f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n'（x），n∈N^*，則f₂₀₁₁（x）=

sinx

．

Answer 1

分析：由已知，f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，f₃（x）=f₂′（x）=sinx，f₄（x）=f₃′（x）=cosx，發現f_n（x）以4為周期，結果循環出現，
利用此規律將n=2011轉化為n=3的情況求解．

解答：解：∵f₀（x）=cosx，
∴f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，
f₃（x）=f₂′（x）=sinx，
f₄（x）=f₃′（x）=cosx
…
從第五項開始，f_n（x）的解析式重復出現，每4次一循環．
∴f₂₀₁₁（x）=f_4×502+3（x）=f₃（x）=sinx，
故答案為 sinx．

點評：本題考查函數求導運算，由于f₂₀₁₁（x）中下標數值2011較大，所以探究f_n（x）的周期性成為必要與自然，屬于基礎題．