Question

已知向量

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)，其中ω＞0，函數f(x)=

m

•

n

，若f（x）相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

（1）求ω的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C所對的邊，f（A）=1，△ABC的面積S=5

3

，b=4，求a．

Answer 1

分析：（1）根據向量數量積的坐標運算公式和三角恒等變換公式，化簡得f(x)=2sin(2ωx+

π

6

)，結合三角函數的周期公式即可算出ω的值；
（2）由（1）的結論得f(A)=2sin(2A+

π

6

)=1，結合A為三角形的內角算出A=

π

3

，再根據△ABC的面積為5

3

，解出c=5．最后由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，即可算出邊a的大小．

解答：解：（1）∵

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx)，

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)，
∴f(x)=

m

•

n

=(cos2ωx-sin2ωx)+2

3

sinωxcosωx
=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)，
又∵f（x）相鄰兩對稱軸間的距離為

π

2

，
∴函數的周期T=

2π

2ω

=π，解之得ω=1；
（2）∵f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
∴f(A)=2sin(2A+

π

6

)=1，得sin(2A+

π

6

)=

1

2

．
又∵A∈（0，π），得2A+

π

6

∈（

π

6

，

13π

6

），
∴2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．
因此，△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

3

c=5

3

，所以c=5．
∴由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA=16+25-2×4×5×cos

π

3

=21，
解得a=

21

（舍負）．

點評：本題以向量的數量積為載體，求函數f（x）的表達式，并依此解△ABC．著重考查了三角恒等變換公式、三角函數的圖象與性質、三角形面積公式和余弦定理等知識，屬于中檔題．