Question

若不等式2^x-log_ax＜0，當x∈（0，

1

2

）時恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：要使不等式2^x＜log_ax在x∈（0，

1

2

）時恒成立等價于函數y=log_ax的圖象在（0，

1

2

）內恒在函數y=2^x圖象的上方，由此能求出a的取值范圍．

解答：解：要使不等式2^x＜log_ax在x∈（0，

1

2

）時恒成立，
即函數y=log_ax的圖象在（0，

1

2

）內恒在函數y=2^x圖象的上方，而y=2^x圖象過點（

1

2

，

2

）．
由log_a

1

2

≥

2

，知0＜a＜1，
∴函數y=log_ax遞減．
又∵loga

1

2

≥

2

=logaa

2

，
∴a

2

≥

1

2

，∴a≥（

1

2

） 

2

2

，
∴所求的a的取值范圍是（

1

2

） 

2

2

≤a＜1．

點評：本題考查函數恒成立問題的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．