Question

已知函數(shù)y=4^-x-a·2^1-x-3在［-2,+∞)上的最小值是-4,求實數(shù)a的值.

Answer 1

函數(shù)y=4^-x-a·2^1-x-3可化為y=- 2a()^x-3,

x∈［-2,+∞).

設u=()^x,x∈［-2,+∞),則u∈(0,4］.

∴y=u²-2au-3=(u-a)²-3-a²,u∈(0,4］.

對稱軸u=a.

當a<0時,如圖甲,

函數(shù)y=(u-a)²-3-a²在區(qū)間(0,4］上無最小值.

丙所以這種情況不符合條件.

當0≤a≤4時,如圖乙,

最小值為-3-a².

由-3-a²=-4得a=±1.

又0≤a≤4,

∴a=1時滿足條件.

當a>1時,如圖丙,

最小值是x=4時取得的.

由16-8a-3=-4,得a=,與a>4矛盾.

所以a=不滿足條件.

綜上所述,a=1.