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如圖：已知橢圓C的中心在原點，焦點在X軸上，經過右焦點F傾斜角為的直線l與橢圓交于A，B兩點，且|AF|∶|FB|＝3∶1，點在該橢圓上．

(Ⅰ)求橢圓C的離心率e的值，并求橢圓C的方程；

(Ⅱ)在橢圓C內部是否存在一點E(x0，0)使得？若存在，求出E點的坐標；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)設，橢圓C的右準線為，過A，B分別作的垂線，垂足分別為，過B作，垂足為D．

　　由圓錐曲線的統一定義知：　2分

　　在直角三角形中，

　　又　故　5分

　　

　　設橢圓C的方程為：　將代入得

　　所以：橢圓C的方程為：　6分

　　(Ⅱ)假設存在滿足條件，設

　　據題意直線　①

　　　7分

　　

　　故　8分

　　即：

　　　②　9分

　　將①代入橢圓的方程　并整理得：

　　　③

　　由根與系數的關系知

　　　④　10分

　　將④代入②得

　　即：

　　故或(不合題意，舍去)

　　綜上所述：存在點滿足條件．　12分(點未舍去，扣1分)


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：
x24
+y2=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N；
（I）設直線AP、BP的斜率分別為k1，k2求證：k1•k2為定值；
（Ⅱ）求線段MN長的最小值；
（Ⅲ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點為F1（1，0）、F2（-1，0），離心率為
2
2
，過點A（2，0）的直線l交橢圓C于M、N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）①求直線l的斜率k的取值范圍；
②在直線l的斜率k不斷變化過程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否總相等？若相等，請給出證明，若不相等，說明理由．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年江蘇五校高三下學期期初教學質量調研數學卷（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、PB與直線l：y＝－2分別交于點M、N.

（1）設直線AP、PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值；

（2）求線段MN長的最小值；

（3）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

 

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣東省華南師大附中高三（下）5月月考數學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N；
（I）設直線AP、BP的斜率分別為k1，k2求證：k1•k2為定值；
（Ⅱ）求線段MN長的最小值；
（Ⅲ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年廣東省華南師大附中高三（下）5月月考數學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N；
（I）設直線AP、BP的斜率分別為k1，k2求證：k1•k2為定值；
（Ⅱ）求線段MN長的最小值；
（Ⅲ）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

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