Question

已知函數y=x+有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+（x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（2）研究函數y=x²+（常數c＞0）在定義域內的單調性，并說明理由；
（3）對函數y=x+和y=x²+（常數a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數F（x）=+（n是正整數）在區間[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．

Answer 1

【答案】分析：（1）函數y=x+（x＞0）的最小值是2=6，由此可求出b的值．
（2）設0＜x₁＜x₂，y₂-y₁=．由此入手經過講座可知該函數在（-∞，-]上是減函數，在[-，0）上是增函數．
（3）可以把函數推廣為y=（常數a＞0），其中n是正整數．當n是奇數時，函數y=在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數，在（-∞，-]上是增函數，在[-，0）上是減函數；當n是偶數時，函數y=在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數，在（-∞，-]上是減函數，在[-，0）上是增函數．并且由函數的單調性可求出當x=1時F（x）取得最小值2ⁿ⁺¹．
解答：解：（1）函數y=x+（x＞0）的最小值是2，則2=6，
∴b=log₂9．
（2）設0＜x₁＜x₂，y₂-y₁=．
當＜x₁＜x₂時，y₂＞y₁，函數y=在[，+∞）上是增函數；
當0＜x₁＜x₂＜時y₂＜y₁，函數y=在（0，]上是減函數．
又y=是偶函數，于是，
該函數在（-∞，-]上是減函數，在[-，0）上是增函數；
（3）可以把函數推廣為y=（常數a＞0），其中n是正整數．
當n是奇數時，函數y=在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數，
在（-∞，-]上是增函數，在[-，0）上是減函數；
當n是偶數時，函數y=在（0，]上是減函數，在[，+∞）上是增函數，
在（-∞，-]上是減函數，在[-，0）上是增函數；
F（x）=+
=+…+，
因此F（x）在[，1]上是減函數，在[1，2]上是增函數．
所以，當x=或x=2時，F（x）取得最大值（）ⁿ+（）ⁿ；
當x=1時F（x）取得最小值2ⁿ⁺¹；
點評：本題考查函數的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．