Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2﹣x+2a﹣1（a＞0）．
（1）若f（x）在區(qū)間[1，2]為單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；
（3）設(shè)函數(shù) ，若對(duì)任意x1 ， x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=ax2﹣x+2a﹣1（a＞0）的圖象是開口朝上，且以直線x= 為對(duì)稱軸的拋物線，

若f（x）在區(qū)間[1，2]為單調(diào)增函數(shù)

則 ，

解得：

（2）解：①當(dāng)0＜ ＜1，即a＞ 時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，

此時(shí)g（a）=f（1）=3a﹣2

②當(dāng)1≤ ≤2，即 時(shí)，f（x）在區(qū)間[1， ]是減函數(shù)，在區(qū)間[ ，2]上為增函數(shù)，

此時(shí)g（a）=f（ ）= ）

③當(dāng) ＞2，即0＜a＜ 時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，

此時(shí)g（a）=f（2）=6a﹣3

綜上所述：

（3）解：對(duì)任意x1，x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，

即f（x）min≥h（x）max，

由（2）知，f（x）min=g（a）

又因?yàn)楹瘮?shù) ，

所以函數(shù)h（x）在[1，2]上為單調(diào)減函數(shù)，所以 ，

①當(dāng) 時(shí)，由g（a）≥h（x）max得： ，解得 ，（舍去）

②當(dāng) 時(shí)，由g（a）≥h（x）max得： ，即8a2﹣2a﹣1≥0，

∴（4a+1）（2a﹣1）≥0，解得

所以

③當(dāng) 時(shí)，由g（a）≥h（x）max得： ，解得 ，

所以a

綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為

【解析】（1）若f（x）在區(qū)間[1，2]為單調(diào)增函數(shù)，則根據(jù)題意a＞0，只需二次函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間的左側(cè)即可，列出不等式可解得a的取值范圍，（2）分類討論給定區(qū)間與對(duì)稱軸的關(guān)系，分析出各種情況下g（x）的表達(dá)式，綜合討論結(jié)果，可得答案，（3）不等式f（x1）≥h（x2）恒成立，

即f（x）min≥h（x）max，分類討論各種情況下實(shí)數(shù)a的取值，綜合討論結(jié)果，可得答案.

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最值及其幾何意義和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（小）值；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．