Question

已知曲線C的極坐標方程為ρ2=

36	4cos2θ+9sin2θ

；
（Ⅰ）若以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是曲線C上的一個動點，求3x+4y的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

得4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36，把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式即可得出．
（Ⅱ）設P（3cosθ，2sinθ），則3x+4y=9cosθ+8sinθ=

145

sin(θ+φ)，可知當sin（θ+φ）=1時，3x+4y取得最大值．

解答：解：（Ⅰ）由ρ2=

36

4cos2θ+9sin2θ

得4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36，
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上式可得：4x²+9y²=36．
化為

x2

9

+

y2

4

=1，
∴曲線C的直角坐標方程為

x2

9

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）設P（3cosθ，2sinθ），
則3x+4y=9cosθ+8sinθ=

145

sin(θ+φ)，
∵θ∈R，
∴當sin（θ+φ）=1時，3x+4y的最大值為

145

．

點評：本題考查了極坐標與直角坐標的互化公式、橢圓的參數方程的應用，屬于中檔題．