Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2a，AB=a，F為CD的中點.

   （1）求證：AF⊥平面CDE；

   （2）求異面直線AC，BE所成角的余弦值；

   （3）求多面體ABCDE的體積.

Answer 1

解：（1）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF.

又∵AC=AD，F為CD中點，

∴AF⊥CD，∴AF⊥平面CDE.

   （2）∵DE∥AB，

取DE中點M，連結AM、CM，則四邊形AMEB為平行四邊形.

AM∥BE，則∠CAM為AC與BE所成的角，

在△ACM中，AC=2，

∴異面直線AC、BE所成的角的余弦值為.

   （3）取CE的中點N，連結BN、FN，則FN DE，又取AB DE，則四邊形AFNB為平行四邊形.

∴AF∥BN，又由（1）知，AF⊥面CDE，∴BN⊥面CDE.