Question

（本題滿分10分）已知函數(shù)．

 （I）討論的單調(diào)性；

 （II）設(shè)，證明：當(dāng)時，；

 （III）若函數(shù)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，

     證明：（x₀）＜0．

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)增加，在單調(diào)減少；（2）當(dāng)，（3）見解析.

【解析】第一問利用導(dǎo)數(shù)求解得到。

（I） 

   （i）若單調(diào)增加.

   （ii）若且當(dāng)

所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少.

第二問中，構(gòu)造函數(shù)設(shè)函數(shù)則   

結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性判定進(jìn)而求解。

第三問中，由（I）可得，當(dāng)的圖像與x軸至多有一個交點(diǎn)，

故，從而的最大值為

解：（I） 

   （i）若單調(diào)增加.

   （ii）若且當(dāng)

所以單調(diào)增加，在單調(diào)減少.  ………………3分

（II）設(shè)函數(shù)則   

當(dāng).

故當(dāng)，   ………………6分

（III）由（I）可得，當(dāng)的圖像與x軸至多有一個交點(diǎn)，

故，從而的最大值為

不妨設(shè)  

由（II）得從而

由（I）知，   ………………10分