Question

已知函數．

（Ⅰ）討論函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，是否存在過點（1，－1）的直線與函數的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．

Answer 1

解析：（1）由題意 ．

當時，函數的定義域為，

，則，，則，

此時函數在上是減函數，在上是增函數，

當時，函數的定義域為，

，則，，則，

此時函數在上是減函數，在上是增函數。

（2）假設存在這樣的切線，設其中一個切點，

∴切線方程：，將點坐標代入得：

，即，        ①

設，則．

令，則或。

	（0,1）	1	（1,2）	2
	+	0	-	0	+
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

所以在區間，上是增函數，在區間上是減函數，

在處取得極大值，在處取得極小值，

所以在上恒成立，即在上無解。

因為，，在區間上單調遞增，根據零點定理，在區間上有且僅有一個實數根，即方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．