Question

如圖，點O為坐標原點，直線l經過拋物線C：y²=4x的焦點F．
（Ⅰ）若點O到直線l的距離為，求直線l的方程；
（Ⅱ）設點A是直線l與拋物線C在第一象限的交點．點B是以點F為圓心，|FA|為半徑的圓與x軸負半軸的交點．試判斷直線AB與拋物線C的位置關系，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）拋物線的焦點F（1，0），當直線l的斜率不存在時，即x=1不符合題意．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為：y=k（x-1），所以，由此能求出直線l的方程．
（Ⅱ）直線AB與拋物線相切．設A（x，y），則．因為|BF|=|AF|=x+1，所以B（-x，0），由此能夠證明直線AB與拋物線相切．
法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）直線AB與拋物線相切，設A（x，y），則．設圓的方程為：由此能夠證明直線AB與拋物線相切．
解答：解法一：（Ⅰ）拋物線的焦點F（1，0），…（1分）
當直線l的斜率不存在時，即x=1不符合題意．…（2分）
當直線l的斜率存在時，
設直線l的方程為：y=k（x-1），即kx-y-k=0．…（3分）
所以，，解得：．…（5分）
故直線l的方程為：，即．…（6分）
（Ⅱ）直線AB與拋物線相切，證明如下：…（7分）
（法一）：設A（x，y），則．…（8分）
因為|BF|=|AF|=x+1，所以B（-x，0）．…（9分）
所以直線AB的方程為：，
整理得：…（1）
把方程（1）代入y²=4x得：，…（10分）
，
所以直線AB與拋物線相切．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）直線AB與拋物線相切，證明如下：…（7分）
設A（x，y），則．…（8分）
設圓的方程為：，…（9分）
當y=0時，得x=1±（x+1），
因為點B在x軸負半軸，所以B（-x，0）．…（9分）
所以直線AB的方程為，
整理得：…（1）
把方程（1）代入y²=4x得：，…（10分）
，
所以直線AB與拋物線相切．…（12分）
點評：本小題考查拋物線的標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想等．