Question

已知點P在△ABC所在平面外,PA=PB,CB⊥平面PAB,M為PC的中點,N在AB上,如圖所示,問當N在AB的什么位置上時,有MN⊥AB?

Answer 1

解析:欲證MN⊥AB,注意到AB是平面PAB內的一條直線,MN是這一平面的一條斜線,所以只需證MN在平面PAB內的射影與AB垂直.

如圖所示,取PB中點E,

連結EM,則EM∥BC.

又BC⊥平面PAB,所以EM⊥平面PAB.

設AB中點為F,因為PA=PB,所以PF⊥AB.

作EN∥PF,且EN∩AB=N,則EN⊥AB.

由三垂線定理知MN⊥AB.

此時N為AB的一個四等分點,且.

所以當N是AB的一個四等分點且距B為AB時,MN⊥AB.

小結:三垂線定理或其逆定理可以看作是線面垂直的一種性質定理.如本例,由ME⊥平面PAB,有ME⊥AB,又EN⊥AB,所以AB⊥平面MEN.

所以AB⊥MN.但為方便起見,我們應該熟悉三垂線定理及其逆定理的直接使用.