Question

已知函數f（x）=x|x²-a|，a∈R．
（Ⅰ）當a≤0時，求證函數f（x）在（-∞，+∞）上是增函數；
（Ⅱ）當a=3時，求函數f（x）在區間[0，b]上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導函數判斷函數的單調性．
（2）函數取最值的可能點為極值點，端點，間斷點，因此找出這些點，再比較函數值即可．
解答：（Ⅰ）解：∵a≤0，∴x²-a≥0，∴f（x）=x（x²-a）=x³-ax，
∴f^′（x）=3x²-a，
∵f^′（x）≥0對x∈R成立，
∴函數f（x）在（-∞，+∞）上是增函數．
（Ⅱ）解：當a=3時，f（x）=x|x²-3|=
（i）當x＜-，或x＞時，f^′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）＞0．
（ii）當-＜x＜時，f^′（x）=3-3x²=-3（x-1）（x+1）．
當-1＜x＜1時，f^′（x）＞0；
當-＜x＜-1，或1＜x＜時，f¢（x）＜0．
所以f（x）的單調遞增區間是（-∞，-]，[-1，1]，[，+∞）；
f（x）的單調遞減區間是[-，-1]，[1，]．（8分）
由區間的定義可知，b＞0．
①若0＜b≤1時，則[0，b]Ì[-1，1]，因此函數f（x）在[0，b]上是增函數，
∴當x=b時，f（x）有最大值f（b）=3b-b³．
②若1＜b≤時，f（x）=3x-x³在[0，1]上單調遞增，在[1，b]上單調遞減，因此，在x=1時取到極大值f（1）=2，并且該極大值就是函數f（x）在區間[0，b]上的最大值．
∴當x=1時，f（x）有最大值2．
③若b＞時，當x∈[0，]時，f（x）=3x-x³在[0，1]上單調遞增，在[1，]上單調遞減，
因此，在x=1時取到極大值f（1）=2，在x∈[，b]時，f（x）=x³-3x在[，b]上單調遞增，
在x=b時，f（x）有最大值f（b）=b³-3b．
（i）當f（1）≥f（b），即2≥b³-3b，b³-b-2b-2≤0，b（b²-1）-2（b+1）≤0，（b+1）²（b-2）≤0，b≤2．
∴當＜b≤2時，在x=1時，f（x）取到最大值f（1）=2．
（ii）當f（1）＜f（b），解得b＞2，
∴當b＞2時，f（x）在x=b時，取到最大值f（b）=b³-3b，
綜上所述，函數y=f（x）在區間[0，b]上的最大值為y_max=．
點評：本題主要考查了函數的單調性以及函數的最值問題，注意分情況討論．