Question

（2013•廣州三模）某地區有荒山2200畝，從2002年開始每年年初在荒山上植樹造林，第一年植樹100畝，以后每一年比上一年多植樹50畝．
（1）若所植樹苗全部成活，則到哪一年年初植樹后可以將荒山全部綠化？
（2）若每畝所植樹苗木材量為2立方米，每年樹木木材量自然增長率為20%，求全部綠化后的那一年年底該山林的木材總量（精確到1立方米，1.2⁸≈4.3）．

Answer 1

分析：（1）根據第一年植樹100畝，以后每一年比上一年多植樹50畝，可知每年的植樹量組成以100為首項，50為公差的等差數列，利用等差數列的求和公式即可解決；
（2）根據（1）問可知，分別計算每年初木材存量，到2009年底木材存量增加量，進而求和，即可求得全部綠化后的那一年年底該山林的木材總量．

解答：解：（1）設植樹n年后可將荒山全部綠化，記第n年初植樹量為a_n，
由題意數列{a_n}是首項為a₁=100，公差d=50的等差數列，
所以100n+

n(n-1)

2

×50=2200
∴n²+3n-88=0，
∴（n+11）（n-8）=0．
∵n∈N^*，
∴n=8．
∴到2009年年初植樹后可以將荒山全部綠化．
（2）設2002年初木材存量為2a₁m³，到2009年底木材存量增加為2a₁×1.2⁸m³，
2003年初木材存量為2a₂m³，到2009年底木材存量增加為2a₂×1.2⁷m³，
…，
2009年初木材存量為2a₈m³，到2009年底木材存量增加為2a₈×1.2m³
則到2009年底木材總量為S=2a₁×1.2⁸+2a₂×1.2⁷+2a₃×1.2⁶+…+2a₈×1.2
S=900×1.2+800×1.2²+…+400×1.2⁶+300×1.2⁷+200×1.2⁸
1.2×S=900×1.2²+800×1.2³+…+400×1.2⁷+300×1.2⁸+200×1.2⁹
作差得：0.2S=200×1.2⁹+100（1.2²+1.2³+…+1.2⁸）-900×1.2=840×1.2⁸-1800≈840×4.3=1812
∴S=9060m³
答：到全部綠化后的那一年年底，該山林的木材總量9060立方米．

點評：本題以實際問題為載體，考查數列模型的建構，考查數列的求和，解題的關鍵是審清題意，建構數列模型．