Question

已知PA、PB、PC是從P點出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為60°，則直線PC與平面PAB所成角的余弦值是

3

3

．

Answer 1

分析：過PC上一點D作DO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角．能證明點O在∠APB的平分線上，通過解直角三角形PED、DOP，求出直線PC與平面PAB所成角的余弦值．

解答：解：在PC上任取一點D并作PO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角．         
過點O作OE⊥PA，OF⊥PB，因為DO⊥平面APB，則DE⊥PA，DF⊥PB．
△DEP≌△DFP，∴EP=FP，∴△OEP≌△OFP，
因為∠APC=∠BPC=60°，所以點O在∠APB的平分線上，即∠OPE=30°．
設PE=1，∵∠OPE=30°∴OP=

1

cos30°

=

2 3

3

在直角△PED中，∠DPE=60°，PE=1，則PD=2．
在直角△DOP中，OP=

2 3

3

，PD=2．則cos∠DPO=

OP

PD

=

3

3

．
即直線PC與平面PAB所成角的余弦值是

3

3

．

點評：本題考查直線與平面所成角的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計算能力、轉化能力．