Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD=

2

，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點．
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求點A到平面PCD的距離．

Answer 1

分析：（1）根據線面垂直的判定定理可知，只需證直線PO垂直平面ABCD中的兩條相交直線垂直即可；
（2）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點B，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（3）利用等體積法建立等量關系，可求得點A到平面PCD的距離．

解答：解：（Ⅰ）證明：在△PAD卡中PA=PD，O為AD中點，所以PO⊥AD．
又側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．

（Ⅱ）連接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，
所以OB∥DC．
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，
所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角．
因為AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=

2

，
在Rt△POA中，因為AP=

2

，AO=1，所以OP=1，
在Rt△PBO中，PB=

OP2+OB2

=

3

，
cos∠PBO=

OB

PB

=

2

3

=

6

3

，
所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為

6

3

．

（Ⅲ）由（Ⅱ）得CD=OB=

2

，
在Rt△POC中，PC=

OC2+OP2

=

2

，
所以PC=CD=DP，S_△PCD=

3

4

•2=

3

2

．
又S△=

1

2

AD•AB=1，
設點A到平面PCD的距離h，
由V_P-ACD=V_A-PCD，
得

1

3

S_△ACD•OP=

1

3

S_△PCD•h，
即

1

3

×1×1=

1

3

×

3

2

×h，
解得h=

2 3

3

．

點評：本題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運算能力．