已知奇函數f(x)對任意實數x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，且當x＞0時，f(x)＜0．
(1)判斷函數f(x)在R上的單調性，并說明理由；
(2)若f(1)＝－3，x0∈[－2，2]，求證：－9≤f(x0＋1)≤3．
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解 (1)設x1，x2是任意的兩實數，且x1＜x2，則x2－x1＞0． 由題意，有f(x2－x1)＜0． ∵f(x)是奇函數，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， ∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)＜0， ∴f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在R上是單調減函數． (2)∵f(1)＝－3， ∴f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝－6，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝－9． 又據f(x)是奇函數，得f(－1)＝3．由－2≤x0≤2，得－1≤x0＋1≤3． 再據(1)，得f(3)≤f(x0＋1)≤f(－1)，即－9≤f(x0＋1)≤3． |
應用題天天練四川大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
＞0對任意兩個不相等的正實數x1、x2都成立.在下列不等式中,正確的是A.f(-5)＞f(3) B.f(-5)＜f(3)
C.f(-3)＞f(-5) D.f(-3)＜(-5)
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科目：高中數學 來源： 題型：
已知奇函數f(x)的定義域為R，且f(x)在［0，+∞)上是增函數，是否存在實數m,使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)對所有θ∈［0,
］都成立？若存在，求出符合條件的所有實數m的范圍，若不存在，說明理由。
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科目：高中數學 來源：2010-2011年河北省保定市高二下學期第二次階段性考試數學 題型：選擇題
．已知奇函數f(x)對任意的正實數x1，x2(x1≠x2)，恒有
(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，則一定正確的是 ( )
A．f(4)>f(－6) B．f(－4)<f(－6)
C．f(－4)>f(－6) D．f(4)<f(－6)
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科目：高中數學 來源：2010-2011年河北省保定市一中高二下學期第二次階段性考試數學 題型：單選題
．已知奇函數f(x)對任意的正實數x1，x2(x1≠x2)，恒有
(x1－x2)(f(x1)－f(x2))>0，則一定正確的是 ( )
| A．f(4)>f(－6) | B．f(－4)<f(－6) |
| C．f(－4)>f(－6) | D．f(4)<f( －6) |
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