Question

已知函數f(x)=x²-lnx.

(1)求f(x)的單調區間；

(2)若g(x)=x³+x²,證明當x＞1時,函數f(x)的圖象恒在函數g(x)的圖象的上方.

Answer 1

解:(1)∵f(x)=x²-lnx的定義域為(0,+∞),

由f(x)可得f′(x)=x=,

令f′(x)=0,則x=1.

當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表：

x	(0,1)	1	(1,+∞)
f′(x)	-	0	+
f(x)	↘	極小值	↗

故f(x)的單調遞減區間是(0，1)，單調遞增區間是(1,+∞).

(2)證明:令h(x)=f(x)-g(x)=x³x²-lnx,

則h′(x)=2x²-x==.

∵x＞1,∴h′(x)＞0.∴h(x)在(1,+∞)上單調遞增.

又h(1)=＞0,∴f(x)＞g(x).

當x＞1時,f(x)的圖象恒在g(x)圖象的上方