Question

【題目】我國唐代詩人王維詩云：“明月松間照，清泉石上流”，這里明月和清泉，都是自然景物，沒有變，形容詞“明”對“清”，名詞“月”對“泉”，詞性不變，其余各詞均如此．變化中的不變性質，在文學和數學中都廣泛存在．比如我們利用幾何畫板軟件作出拋物線C：x2=y的圖象（如圖），過交點F作直線l交C于A、B兩點，過A、B分別作C的切線，兩切線交于點P，過點P作x軸的垂線交C于點N，拖動點B在C上運動，會發現 是一個定值，該定值是 ．

Answer 1

【答案】1
【解析】解：線段AB是過拋物線x2=y焦點F的弦，過A，B兩點分別作此拋物線的切線，兩切線相交于N點．N點在拋物線的準線上．下面證明
證明：由拋物線x2=y，得其焦點坐標為F（0， ）．
設A（x1 ， x12），B（x2 ， x22），
直線l：y=kx+ 代入拋物線x2=y得：x2﹣kx﹣ =0．
∴x1x2=﹣ …①．
又拋物線方程為：y=x2 ，
求導得y′=2x，
∴拋物線過點A的切線的斜率為2x1 ， 切線方程為y﹣x12=2x1（x﹣x1）…②
拋物線過點B的切線的斜率為2x2 ， 切線方程為yx22﹣=2x2（x﹣x2）…③
由①②③得：y=﹣ ．
∴P的軌跡方程是y=﹣ ，即N在拋物線的準線上；
根據拋物線的定義知：NF=NP，∴ 是一個定值1．
所以答案是：1