Question

已知中心在坐標原點、焦點在x軸上橢圓的離心率，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設橢圓的左，右焦點分別是F₁和F₂，直線l₁過F₂且與x軸垂直，動直線l₂與y軸垂直，l₂交l₁于點P，求線段PF₁的垂直平分線與l₂的交點M的軌跡方程，并指明曲線類型．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓的方程，利用橢圓的離心率，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓的標準方程；
（2）利用線段PF₁的垂直平分線與l₂的交點為M，可得|MF₁|=|MP|，由此可得M的軌跡方程及曲線類型．
解答：解：（1）依題意設所求橢圓方程為
∵橢圓的離心率，
∴，∴2a²=3b²①
又以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線y=x+2相切．
即原點到直線y=x+2的距離為b，所以，代入①中得
所以，所求橢圓方程為．…（6分）
（2）由得F₁、F₂點的坐標分別為（-1，0），（1，0），
設M點的坐標為（x，y），由題意：P點坐標為（1，y），
因為線段PF₁的垂直平分線與l₂的交點為M，
所以|MF₁|=|MP|，∴，∴y²=-4x
故線段PF₁的垂直平分線與l₂的交點M的軌跡方程是y²=-4x，
該軌跡是以F₁為焦點的拋物線．…（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查軌跡方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．