Question

用0,1,2,3,4這五個數字可以組成多少個無重復數字的

(1)銀行存折的四位密碼?

(2)四位數?

(3)四位奇數?

Answer 1

思路解析:(1)可以分步選取數字,作四位密碼的四個位置上的數字,且所取數字不能重復;(2)可以分步選取數字,分別做出千位數字、百位數字、十位數字和個位數字,且所取數字不能重復.與(1)的不同之處是千位數字不能取0;(3)四位奇數的個位只能是1或3,因此符合條件的四位奇數可以分為個位數字是1和個位數字是3的兩類,每一類中再分步.要注意千位數字不能取0,且所取數字不能重復.

解:(1)完成“組成無重復數字的四位密碼”這件事,可以分四個步驟:

第一步:選取左邊第一個位置上的數字,有5種選取的方法;

第二步:選取左邊第二個位置上的數字,有4種選取的方法;

第三步:選取左邊第三個位置上的數字,有3種選取的方法;

第四步:選取左邊第四個位置上的數字,有2種選取的方法.

由分步乘法計數原理,可組成不同的四位密碼共有

N=5×4×3×2=120(個).

(2)完成“組成無重復數字的四位數”這件事,可以分四個步驟:

第一步:從1,2,3,4中選取一個數字做千位數字,有4種不同的選取方法;

第二步:從1,2,3,4中剩余的三個數字和0共四個數字中選取一個數字做百位數字,有4種不同的選取方法;

第三步:從剩余的三個數字中選取一個數字做十位數字,有3種不同的選取方法;

第四步:從剩余的兩個數字中選取一個數字做個位數字,有2種不同的選取方法.

由分步乘法計數原理,可組成不同的四位數共有

N=4×4×3×2=96(個).

(3)完成“組成無重復數字的四位奇數”這件事,有兩類辦法:

第一類辦法:四位奇數的個位取數字1,這件事分三個步驟完成:

第一步:從2,3,4中選取一個數字做千位數字,有3種不同的選取方法;

第二步:從2,3,4中剩余的兩個數字與0共三個數字中選取一個數字做百位數字,有3種不同的選取方法;

第三步:從剩余的兩個數字中,選取一個數字做十位數字,有2種不同的選取方法.

由分步乘法計數原理,第一類中的四位奇數共有

N₁=3×3×2=18(個).

第二類辦法:四位奇數的個位取數字3,這件事分三個步驟完成:

第一步:從1,2,4中選取一個數字做千位數字,有3種不同的選取方法;

第二步:從1,2,4中剩余的兩個數字與0共三個數字中選取一個數字做百位數字,有3種不同的選取方法;

第三步:從剩余的兩個數字中,選取一個數字做十位數字,有2種不同的選取方法.

由分步乘法計數原理,第二類中的四位奇數共有

N₂=3×3×2=18(個).

最后,由分類加法計數原理,符合條件的四位奇數共有

N=N₁+N₂=18+18=36(個).

方法歸納  在解決具體問題時,要弄清楚是“分類”還是“分步”,還要弄清“分類”或者“分步”的具體標準是什么.