Question

已知點P在橢圓

x2

45

+

y2

20

=1上，F₁，F₂是橢圓的焦點，若∠F₁PF₂為鈍角，則P點的橫坐標的取值范圍是

（-3，3）

．

Answer 1

分析：根據橢圓方程，可得a²=45，b²=20，所以c=

a2-b2

=5，得橢圓的焦點坐標為F₁（-5，0），F₂（5，0）．然后設P（x，y），可得

PF1

=（-5-x，-y），

PF2

=（5-x，-y），根據∠F₁PF₂為鈍角，得到

PF1

•

PF2

＜0，代入坐標得x²-25+y²＜0．因為點P在橢圓

x2

45

+

y2

20

=1上，得到y²=20（1-

x2

45

），代入不等式，解之即可得到正確答案．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

45

+

y2

20

=1，
∴a²=45，b²=20，可得c=

a2-b2

=5，
因此橢圓的焦點坐標為F₁（-5，0），F₂（5，0），
設P（x，y），可得

PF1

=（-5-x，-y），

PF2

=（5-x，-y），
∵∠F₁PF₂為鈍角，
∴

PF1

•

PF2

＜0，即（-5-x）×（5-x）+（-y）×（-y）＜0
∴x²-25+y²＜0…（*），
∵點P在橢圓

x2

45

+

y2

20

=1上，
∴y²=20（1-

x2

45

），代入（*）式得：x²-25+20（1-

x2

45

）＜0，
∴x²-5-

4

9

x²＜0，解之得x∈（-3，3）．
故答案為：（-3，3）

點評：本題給出橢圓上一點到兩個焦點的張角為鈍角，求該點的橫坐標的取值范圍．著重考查了橢圓的基本概念和向量的數量積等知識點，屬于中檔題．