Question

已知周長為定值的扇形OAB，當(dāng)其面積最大時，向其內(nèi)任意擲點(diǎn)，則點(diǎn)落在△OAB內(nèi)的概率是多少？

Answer 1

分析：根據(jù)扇形面積公式，利用基本不等式，求出當(dāng)圓心角α=2時，扇形的面積S有最大值，再利用幾何概型計(jì)算公式，即可求出所求的概率．

解答：解：設(shè)扇形周長為m，半徑為r，則弧長l=m-2r．
∴扇形的面積S=

1

2

lr=

1

2

r（m-2r）=

1

4

•2r•（m-2r）
∵2r•（m-2r）≤[

2r+(m-2r)

2

]2=

m2

4

，
∴當(dāng)且僅當(dāng)r=

m

4

時，扇形的面積S的最大值為

m2

16

．
此時扇形的弧長為

1

2

m，故此時扇形的圓心角為α=

l

r

=2
因此，點(diǎn)落在△OAB內(nèi)的概率為
P=

S△AOB

S扇形

=

1 2 |OA|•|OB|sinα

m2 16

=

1 2 • m 4 • m 4 sin2

m2 16

=

1

2

sin2
答：當(dāng)扇形面積最大時，向其內(nèi)任意擲點(diǎn)，該點(diǎn)落在△OAB內(nèi)的概率是

1

2

sin2．

點(diǎn)評：本題給出周長為定值的扇形，求其面積最大時擲點(diǎn)，能落在在△OAB內(nèi)的概率．著重考查了扇形的面積公式、弧長公式、基本不等式求最值和幾何概型等知識，屬于中檔題．