Question

已知函數f（x）=lg（x+

a

x

-2），其中a為大于零的常數．
（1）當a=1時，求函數f（x）的定義域；
（2）若對任意x∈[2，+∞），恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍；
（3）若f（x）的值域為R，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求函數f（x）的定義域，就是求 x+

a

x

-2＞0，可以通過對數的真數是正數解決；
（2）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即 x+

a

x

-2＞1對x∈[2，+∞）恒成立，轉化為a是x的函數，即可求得a的取值范圍．
（3）f（x）的值域為R，則其真數在實數集上不恒為正，將這一關系轉化為不等式求解參數的范圍即可．

解答：解：（1）由 x+

a

x

-2＞0得，

x2-2x+a

x

＞0，
a=1時，定義域為{x|x＞0且x≠1}，
（2）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
 即 x+

a

x

-2＞1對x∈[2，+∞）恒成立
∴a＞3x-x²，而 h(x)=3x-x2=-(x-

3

2

)2+

9

4

在x∈[2，+∞）上是減函數，
∴h（x）_max=h（2）=2，
∴a＞2．
（3）函數 f(x)=loga(x+

a

x

-2)，（a＞0）的值域為R，其真數在實數集上不恒為正，
即 x+

a

x

-2＞0不恒成立，即存在x∈R使得 x+

a

x

≤2，又a＞0
故可求 x+

a

x

的最小值，令其小于等于2
∵x+

a

x

≥2

a

∴2

a

≤2，解得a≤1，
故實數a的取值范圍是（0，1]．

點評：本題考查函數恒成立問題，（1）著重考查分類討論思想；（2）著重考查分離參數法，是一道好題．