Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是A₁A，B₁B的中點．
（1）求直線D₁N與平面A₁ABB₁所成角的大小；
（2）求直線CM與D₁N所成角的正弦值；
（3）（理科做）求點N到平面D₁MB的距離．

Answer 1

分析：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，求出向量

D1N

和平面A₁ABB₁的一個法向量，利用向量法能求出直線D₁N與平面A₁ABB₁所成角的大小．
（2）分別求出向量

CM

，

D1N

，利用向量法先求出直線CM與D₁N所成角的余弦值，再由三角函數的性質求出其正弦值．
（3）分別求出向量

D1N

和平面D₁MB的法向量，然后利用向量法能求出點N到平面D₁MB的距離．

解答：解：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，M，N分別是A₁A，B₁B的中點，
∴D₁（0，0，2），N（2，2，1），A（2，0，0），D（0，0，0）
∴

D1N

=（2，2，-1），
設直線D₁N與平面A₁ABB₁所成角為θ，
∵平面A₁ABB₁的一個法向量

DA

=（2，0，0），
∴sinθ=|cos＜

D1N

，

DA

＞|=|

4

4+4+1 × 4

|=

2

3

，
∴直線D₁N與平面A₁ABB₁所成角的大小為arcsin

2

3

．
（2）∵C（0，2，0），M（2，0，1），
∴

CM

=（2，-2，1），
設直線CM與D₁N所成角的為α，
∵

D1N

=（2，2，-1），
∴cosθ=|cos＜

CM

，

D1N

＞|=|

4-4-1

4+4+1 × 4+4+1

|=

1

9

，
∴sinθ=

1-( 1 9 )2

=

4 5

9

．
直線CM與D₁N所成角的正弦值為

4 5

9

．
（3）∵M（2，0，1），B（2，2，0），D₁（0，0，2），N（2，2，1），
∴

D1M

=(2，0，-1)，

D1B

=（2，2，-2），

D1N

=（2，2，-1），
設平面D₁MB的法向量

n

=(x，y，z)，
則

D1M

•

n

=0，

D1B

•

n

=0，
∴

2x-z=0 2x+2y-2z=0

，∴

n

=(1，1，2)，
∴點N到平面D₁MB的距離d=

| D1N • n |

| n |

=

|2+2-2|

1+1+4

=

6

3

．

點評：本題考查直線與平面所成角的求法，考查點到直線的距離的求法，解題時要注意空間思維能力的培養，注意向量法的合理運用．