Question

已知函數f(x)=

x(1+lnx)

x-1

，(x＞1)
（1）設x₀為函數f（x）的極值點，求證：f（x₀）=x₀；
（2）若當x＞1時，xlnx+（1-k）x+k＞0恒成立，求正整數k的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用導數的運算法則即可得到f′（x），利用函數取得極值的條件，可得f′（x₀）=0，即x₀-2-lnx₀=0，變形x₀-1=1+lnx₀，即可證明；
（2）由于xlnx+（1-k）x+k＞0恒成立，分離參數得k＜

x(1+lnx)

x-1

=f(x)．故只需f（x）_min＞k，利用導數研究函數f（x）的極小值即可．

解答：解：（1）∵f(x)=

x(1+lnx)

x-1

，(x＞1)，∴f′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

，
∵x₀為函數f（x）的極值點，∴f'（x₀）=0，
即x₀-2-lnx₀=0，于是x₀-1=1+lnx₀，
故f(x0)=

x0(1+lnx0)

x0-1

=

x0(x0-1)

x0-1

=x0．
（2）xlnx+（1-k）x+k＞0恒成立，分離參數得k＜

x(1+lnx)

x-1

=f(x)．
則x＞1時，f（x）＞k恒成立，只需f（x）_min＞k，f′(x)=

x-2-lnx

(x-1)2

，
記g（x）=x-2-lnx，∴g′(x)=1-

1

x

＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上遞增，又g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上存在唯一的實根x₀，且滿足x₀∈（3，4），
∴當1＜x＜x₀時g（x）＜0，即f'（x）＜0；當x＞x₀時g（x）＞0，
即f'（x）＞0，f（x）_min=f（x₀）=x₀∈（3，4），
故正整數k的最大值為3．

點評：本題綜合考查了利用導數研究函數的單調性、極值與最值、分離參數法、函數的零點等基礎知識與基本方法，熟練掌握知識與方法是解題的關鍵，屬于難題．