Question

證明：1+

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

＜

4n

2n+1

(n∈N*)．

Answer 1

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟證明即可．先證當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立；再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，可以分析法去證明當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立即可．

解答：證明：（ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，T₁=

1

12

=1，

4×1

2×1+1

=

4

3

，1＜

4

3

，不等式成立；
（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，T_k＜

4k

2k+1

，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，T_k+1=T_k+

1

(k+1)2

＜

4k

2k+1

+

1

(k+1)2

，
要證：T_k+1＜

4(k+1)

2(k+1)+1

，
只需證：

4k

2k+1

+

1

(k+1)2

＜

4(k+1)

2(k+1)+1

，
由于

4(k+1)

2(k+1)+1

-

4k

2k+1

=

4

(2k+3)(2k+1)

=

4

(2k+2)2-1

＜

1

(k+1)2

，
所以：

4k

2k+1

+

1

(k+1)2

＜

4(k+1)

2(k+1)+1

，
于是對于一切的自然數(shù)n∈N^*，都有T_n＜

4n

2n+1

．

點(diǎn)評：本題考查不等式的證明，突出考查數(shù)學(xué)歸納法，考查分析法與綜合法的應(yīng)用，考查推理分析與證明的能力，屬于中檔題．