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三棱錐P-ABC中,側面PAC與底面ABC垂直,PA=PB=PC=3.
(1)求證AB⊥BC;
(2)如果AB=BC=2,求AC與側面PBC所成角的大小.

【答案】分析:(1)取AC中點O,連接PO、BO.推出PO⊥AC,利用側面PAC⊥底面ABC,推出PO⊥底面ABC,說明△ABC為直角三角形,從而證明AB⊥BC
(2)取BC的中點為M,連接OM,PM,所以有OM,AO,PO,證明平面POM⊥平面PBC,取PM的中點N,連接ON,NC
證明ON⊥平面PBC,說明∠ONC即為AC與平面PBC所成的角.通過,推得AC與平面PBC所成的角為
解答:解:(1)證明:取AC中點O,連接PO、BO.
∵PA=PC∴PO⊥AC
又∵側面PAC⊥底面ABC
∴PO⊥底面ABC
又PA=PB=PC∴AO=BO=CO
∴△ABC為直角三角形∴AB⊥BC

(2)解:取BC的中點為M,連接OM,PM,所以有OM=AB=,AO=

由(1)有PO⊥平面ABC,OM⊥BC,由三垂線定理得PM⊥BC
∴平面POM⊥平面PBC,又∵PO=OM=
∴△POM是等腰直角三角形,取PM的中點N,連接ON,NC
則ON⊥PM,又∵平面POM⊥平面PBC,且交線是PM,∴ON⊥平面PBC
∴∠ONC即為AC與平面PBC所成的角.

故AC與平面PBC所成的角為
點評:本題是中檔題,考查直線與平面所成角正弦值的求法,直線與直線的垂直的證明方法,考查空間想象能力,計算能力,熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關鍵.
練習冊系列答案
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(1)證明:AB⊥PC;
(2)若PC=4,且平面PAC⊥平面PBC,求三棱錐P-ABC的體積.

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π2
,PA=2,AB=AC=4,點D、E、F分別為BC、AB、AC的中點.
(I)求證:EF⊥平面PAD;
(II)求點A到平面PEF的距離;
(III)求二面角E-PF-A的大小.

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(Ⅰ)當k=
12
時,求直線PA與平面PBC所成角的大小;
(Ⅱ)當k取何值時,O在平面PBC內的射影恰好為△PBC的重心?

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精英家教網如圖,在三棱錐P-ABC中,PC⊥平面ABC,△ABC為正三角形,D、E、F分別是BC,PB,CA的中點.
(1)證明平面PBF⊥平面PAC;
(2)判斷AE是否平行于平面PFD,并說明理由;
(3)若PC=AB=2,求三棱錐P-DEF的體積.

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