Question

如圖組合體中，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面ABB₁A₁是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A，B重合一個點．
（1）求證：無論點C如何運動，平面A₁BC⊥平面A₁AC；
（2）當C是弧AB的中點時，求四棱錐A₁-BCC₁B₁與圓柱的體積比．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證平面A₁BC⊥平面A₁AC，根據面面垂直的判定定理可知在平面A₁BC內一直線與平面A₁AC垂直，根據側面ABB₁A₁是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A，B重合一個點，則AC⊥BC，又圓柱母線AA₁⊥平面ABC，BC屬于平面ABC，則AA₁⊥BC，又AA₁∩AC=A，根據線面垂直的判定定理可知BC⊥平面A₁AC，而BC屬于平面A₁BC，滿足定理所需條件；
（II）設圓柱的底面半徑為r，母線長度為h，當點C是弧的中點時，求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積，求出三棱錐A₁-ABC的體積為，從而求出四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積，再求出圓柱的體積，即可求出四棱錐A₁-BCC₁B₁與圓柱的體積比．
解答：解：（I）因為側面ABB₁A₁是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A，B重合一個點，所以AC⊥BC（2分）
又圓柱母線AA₁⊥平面ABC，BC屬于平面ABC，所以AA₁⊥BC，
又AA₁∩AC=A，所以BC⊥平面A₁AC，
因為BC?平面A₁BC，所以平面A₁BC⊥平面A₁AC；（6分）

（II）設圓柱的底面半徑為r，母線長度為h，
當點C是弧的中點時，三角形ABC的面積為r²，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為r²h，
三棱錐A₁-ABC的體積為，
四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積為r²h-=，（10分）
圓柱的體積為πr²h，
四棱錐A₁-BCC₁B₁與圓柱的體積比為2：3π．（12分）
點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，以及幾何體的體積等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，屬于中檔題．