Question

如圖，A為雙曲線M：x²-y²=1的右頂點，平面上的動點P到點A的距離與到直線l：x=-1的距離相等．
（Ⅰ） 求動點P的軌跡N的方程；
（Ⅱ）已知雙曲線M的兩條漸近線分別與軌跡N交于點B，C（異于原點）．試問雙曲線M上是否存在一點D，滿足

DB

•

DC

=

DA

2？若存在，求出點D坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）方法一：設點P（x，y），點P到直線l的距離為d，利用|PA|=d，建立方程，化簡可得動點P的軌跡N的方程；
方法二：由拋物線定義知：動點P的軌跡N是以A（1，0）為焦點，直線l：x=-1為準線的拋物線，故可求動點P的軌跡N的方程；                     
（2）雙曲線M的漸近線方程與拋物線方程聯立，可得點B、C的坐標，設點D（x，y），則|x|≥1，利用

DB

•

DC

=

DA

2，即可得到結論．

解答：解：（1）方法一：依題意，A（1，0）
設點P（x，y），點P到直線l的距離為d，則|PA|=d
即

(x-1)2+y2

=|x+1|，化簡得：y²=4x
方法二：依題意，A（1，0）
由拋物線定義知：動點P的軌跡N是以A（1，0）為焦點，直線l：x=-1為準線的拋物線，其方程為y²=4x．                            
（2）雙曲線M的漸近線方程為y=±x
聯立拋物線方程y²=4x，可得點B（4，4）、C（4，-4）
設點D（x，y），則|x|≥1
若

DB

•

DC

=

DA

2，則（x-4）²+y²-16=（x-1）²+y²
∴x=-

1

6

∵|x|≥1，∴不存在點D滿足題意．

點評：本題主要考查拋物線的定義、雙曲線的性質、向量數量積等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想