Question

【題目】已知直線 ，若存在實數 使得一條曲線與直線 由兩個不同的交點，且以這兩個交點為端點的線段長度恰好等于 ，則稱此曲線為直線 的“絕對曲線”.下面給出的四條曲線方程：

① ；② ；③ ；④ .

其中直線 的“絕對曲線”的條數為（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】依題意可知，直線恒過定點.對于①，函數的圖象關于直線對稱，如圖所示，所以直線與其只能有一個交點，故滿足題意的不存在，故① 不符合題意；

對于② ，方程的圖象為以點為圓心的圓，因此直線過圓心，直線與圓兩個交點所組成的線段長為，故當，直線或，直線斜率的絕對值等于截線段長度，即存在，故② 符合題意；對于③ ，此曲線為一個橢圓，定點在橢圓上，將直線方程代入可得，所以，若曲線是直線的“絕對曲線”，則，即，化簡得，令，則問題轉化為存在，使得成立，因為，且為連續函數，所以在區間存在零點，即存在實根，故③符合題意；對于④，首先明確兩個極限情況： ，此時斜率絕對值無窮大，截線段長度為有限值； ，此時斜率絕對值為零，且當斜率絕對值趨于零時，截線段長度趨于無窮大；若將直線繞點逆時針旋轉，可見斜率絕對值變化趨勢為由正無窮單調遞減至零，截線段長度變化趨勢為從一有限值趨于正無窮（變化過程不一定單調），設為斜率絕對值變化情況， 為線段長度變化情況， 為轉動角度，做出示意圖如下：

必存在某一轉動角度使得與圖象相交，即存在使得直線斜率的絕對值等于截線段長度，故④符合題意，直線 的“絕對曲線”的條數為4，故選C.