Question

已知函數f（x）的圖象是在[a，b]上連續不斷的曲線，定義：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）；f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）其中，min{f（t）|t∈D}表示函數f（t）在D上的最小值，max{f（t）|t∈D}表示函數f（t）在D上的最大值．若存在最小正整數k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數”．已知函數．
（1）求f₁（x），f₂（x）的表達式；
（2）判斷f（x）是否為上的“k階收縮函數”，如果是，請求對應的k的值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可得，．…
（2）f₂（x）-f₁（x）=2sinx．…
若f（x）是為上的“k階收縮函數”，則2sinx≤kx在上恒成立…
且，使得2sinx＞（k-1）x成立．…
令，則φ′（x）=cosx-1＜0．…
∴φ（x）=sinx-x在單調遞減，
∴，即sinx-x≤0…
于是2sinx≤2x在恒成立．
又，2sinx＞x成立
故存在最小的正整數k=2，使得f（x）是為上的“k階收縮函數”…
分析：（1）利用新定義，代入計算，可得f₁（x），f₂（x）的表達式；
（2）由題意，f₂（x）-f₁（x）=2sinx，若f（x）是為上的“k階收縮函數”，則2sinx≤kx在上恒成立，且，使得2sinx＞（k-1）x成立，構建新函數φ（x）=sinx-x，判斷函數在單調遞減，即可求得結論．
點評：本題考查新定義，考查導數知識的運用，考查學生對新問題的理解，考查學生的計算能力，屬于中檔題．