Question

已知函數f（x）=

x2

1+x2

，
（1）求f（2）+f（

1

2

）；f（3）+f（

1

3

）的值；  
（2）猜想：f（x）+f（

1

x

）的值（不用證明）；
（3）求f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2016）+f（

1

2016

）+…+f（

1

4

）+f（

1

3

）+f（

1

2

）的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用函數的表達式，求解f（2）+f（

1

2

）；f（3）+f（

1

3

）的值，即可．
（2）通過（1）猜想f（x）+f（

1

x

）的值．
（3）利用倒序相加法，借助（2）求出結果即可．

解答：解：（1）∵函數f（x）=

x2

1+x2

，
∴f（2）+f（

1

2

）=

22

1+22

+

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

4

5

+

1 4

1+ 1 4

=1；
f（3）+f（

1

3

）=

32

1+32

+

( 1 3 )2

1+( 1 3 )2

=

9

10

+

1 9

1+ 1 9

=1．
（2）猜想f（x）+f（

1

x

）=1．
（3）令S=f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2016）+f（

1

2016

）+…+f（

1

4

）+f（

1

3

）+f（

1

2

）…①
∴S=f（

1

2

）+f（

1

3

）+f（

1

4

）+…+f（

1

2016

）+f（2016）+f（2015）+…+f（3）+f（2）…②
由f（x）+f（

1

x

）=1以及①+②得：
2S=4030×1，
S=2015．
即f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2016）+f（

1

2016

）+…+f（

1

4

）+f（

1

3

）+f（

1

2

）的值為：2015．

點評：本題考查函數值的求法，考查分析問題解決問題的能力以及計算能力．