Question

【題目】如圖①，在五邊形中，，，，，是以為斜邊的等腰直角三角形.現將沿折起，使平面平面，如圖②，記線段的中點為.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）45°

【解析】

【試題分析】（1）運用面面垂直的判定定理進行分析推證；（2）建立空間直角坐標系，借助空間向量的坐標形式運用向量的數量積公式進行分析求解：

（1）解：∵，是線段的中點，∴.

又∵，∴四邊形為平行四邊形，又，∴，

又∵是等腰直角的中點，∴.

∵，∴平面.

∵平面，

∴平面平面.

（2）∵平面平面，且，∴平面，∴.

∴兩兩垂直，以為坐標原點，以所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

∵為等腰直角三角形，且，

∴，

∴，，，，，，

∴，，設平面的一個法向量為，則有

，∴，取，得，

∵平面，∴平面的一個法向量為，

設平面與平面所成的銳二面角為，則

，

∴平面與平面所成的銳二面角大小為.