Question

函數(shù)f(x)對任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且當x＞0時，f(x)＞1.

（1）求證：f(x)是R上的增函數(shù)；

（2）若f(4)=5,解不等式f(3m²-m-2)＜3.

Answer 1

（1）證明見解析（2）解集為（-1, ）

解析:

（1）設x₁,x₂∈R，且x₁＜x₂,

則x₂-x₁＞0,∴f(x₂-x₁)＞1.                                            2分

f(x₂)-f(x₁)=f((x₂-x₁)+x₁)-f(x₁)

=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂-x₁)-1＞0.                                     5分

∴f（x₂）＞f(x₁).

即f(x)是R上的增函數(shù).                                          7分

（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，

∴f（2）=3，                                               10分

∴原不等式可化為f(3m²-m-2)＜f(2),

∵f(x)是R上的增函數(shù)，∴3m²-m-2＜2,                                 12分

解得-1＜m＜,故解集為（-1, ）.                    14分