Question

已知雙曲線C：

x2

4

-y2=1，P為C上的任意點．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）設點A的坐標為（3，0），求|PA|的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據雙曲線的標準方程，利用其幾何性質，即可求出雙曲線的漸近線方程；
（2）先設A的坐標為（x，y），根據兩點間的距離公式表示出PA|²并根據雙曲線的方程，用x表示出y代入整理成二次函數的形式，即可得到|PA|的最小值．

解答：解：（1）雙曲線C：

x2

4

-y2=1的漸近線方程

x2

4

-y2=0，即x-2y=0和x+2y=0．
（2）設P的坐標為（x，y），則
|PA|²=（x-3）²+y²=（x-3）²+

x2

4

-1=

5

4

（x-

12

5

）²+

4

5

∵|x|≥2，∴當x=

12

5

時，|PA|²的最小值為

4

5

，
即|PA|的最小值為

2 5

5

．

點評：本題主要考查雙曲線的基本性質--漸近線方程，考查兩點間的距離公式．