Question

已知集合M是滿足下列性質的函數f(x)的全體：存在非零常數T，對任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.

（Ⅰ）函數f(x)= x 是否屬于集合M？說明理由；

（Ⅱ）設函數f(x)=a^x（a>0,且a≠1）的圖象與y=x的圖象有公共點，證明：f(x)=a^x∈M；

（Ⅲ）若函數f(x)=sinkx∈M ,求實數k的值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）f(x)= 

（Ⅱ）因為函數f(x)=a^x（a>0且a≠1）的圖象與函數y=x的圖象有公共點，

所以方程組：有解，消去y得a^x=x,

顯然x=0不是方程a^x=x的解，所以存在非零常數T，使a^T=T.

于是對于f(x)=a^x有 

故f(x)=a^x∈M.  

（Ⅲ）實數k的取值范圍是{k|k= mπ, m∈Z}  

【解析】（Ⅰ）把函數f(x)= x代入f(x+T)=T f(x)不恒成立，所以 函數f(x)= x 不屬于集合M；（Ⅱ）由函數 且的圖象與函數的圖象有公共點，可得，存在非零常數T，使.把函數代入f(x+T)=T f(x)，結合，可得函數屬于集合M；（Ⅲ）先討論實數是否為0，時顯然成立；時，把函數代入整理得恒成立，所以.根據三角函數的誘導公式可得實數的值.