Question

設數列{a_n}是項數為20的等差數列，公差d∈N+，且關于x的方程x²+2dx-4=0的兩個實根x₁、x₂滿足x₁＜1＜x₂，則數列{a_n}的偶數項之和減去奇數項之和的結果為（ ）
A．15
B．10
C．5
D．-20

Answer 1

【答案】分析：把已知的方程左邊設為一個二次函數，因為x₁＜1＜x₂，得到函數圖象與x軸的兩交點在1的兩側，又根據拋物線開口向上，得到f（1）小于0，列出關于d的不等式，求出不等式的解集，因為d屬于正整數，即可得到不等式的正整數解得到d的值，然后根據等差數列的定義可知a_2n-a_2n-1=d，把偶數項和奇數項之差列舉出來，把20項和19項之差結合，18項與17項之差結合，…，2項和1項之差結合，得到所有的偶數項減去所有的奇數項等于10d，把d的值代入即可求出值．
解答：解：設f（x）=x²+2dx-4，由x₁＜1＜x₂得到：
函數f（x）的圖象與x軸的兩交點坐標分別在1的兩側，注意此函數中的a＞0，拋物線開口向上，
則有f（1）＜0，即1+2d-4＜0，解得：d＜，因為d∈N+，所以d=1，
又因為a_2n-a_2n-1=d，
所以（a₂₀+a₁₈+a₁₆+…+a₂）-（a₁₉+a₁₇+a₁₅+…+a₁）=（a₂₀-a₁₉）+（a₁₈-a₁₇）+…+（a₂-a₁）
=10d=10．
故選B
點評：此題考查學生會利用函數的思想解決實際問題，掌握等差數列的通項公式及前n項和的公式，是一道中檔題．