Question

已知函數f（x）=2x³+ax與g（x）=bx²+c的圖象都過點P（2，0），且在點P處有相同的切線．
（Ⅰ）求實數a，b，c的值；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）+g（x），求F（x）在區間[-3，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求實數a，b，c的值，只須求出切線斜率的值，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．最后利用斜率相等及都過點P列出等量關系，從而問題解決．
（Ⅱ）欲求F（x）在區間[-3，0]上的最大值和最小值，利用導數來解決．研究閉區間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最值即可．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=6x²+a，g′（x）=2bx，…（2分）
根據題意有

16+2a=0 4b+c=0 24+a=4b

…（4分）
解得a=-8，b=4，c=-16（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³-8x，g（x）=4x²-16．
則F（x）=2x³+4x²-8x-16…（7分）
F′（x）=6x²+8x-8…（8分）
令F′（x）＞0，即6x²+8x-8＞0，解得x＜-2或x＞

2

3

；
令F′（x）＜0，即6x²+8x-8＜0，解得-2＜x＜

2

3

…（11分）
當x在[-3，0]內變化時，F′（x）與F（x）的變化情況如下：
當x=0時F（x）有最小值-16；當x=-2時F（x）有最大值0…（13分）

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程、利用導數求閉區間上函數的最值等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．