Question

（2013•南通二模）選修4-2：矩陣與變換
設曲線2x²+2xy+y²=1在矩陣M=

m 0 n 1

（m＞0）對應的變換作用下得到的曲線為x²+y²=1，求矩陣M的逆矩陣M^-1．

Answer 1

分析：確定點在矩陣M=

m 0 n 1

(m＞0)對應的變換作用下得到點坐標之間的關系，利用變換前后的方程，即可求得矩陣M；再求出對應行列式的值，即可得到M的逆矩陣．

解答：解：設曲線2x²+2xy+y²=1上任一點P（x，y）在矩陣M對應的變換下的像是P'（x'，y'），
由

x′ y′

=

m 0 n 1

x y

=

mx nx+y

，得

x′=mx y′=nx+y

因為P'（x'，y'）在圓x²+y²=1上，所以（mx）²+（nx+y）²=1，化簡可得（m²+n²）x²+2nxy+y²=1．…（3分）
依題意可得m²+n²=2，2n=2，m=1，n=1或m=-1，n=1，
而由m＞0可得m=1，n=1．…（6分）
故M=

1 0 1 1

，
故矩陣M的逆矩陣M^-1=

1 0 -1 1

．…（10分）

點評：本題考查矩陣與變換，考查逆矩陣的求法，確定變換前后坐標之間的關系是解題的關鍵．