Question

如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°
（I）求證：EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）設線段CD、AE的中點分別為P、M，求證：PM∥平面BCE；
（Ⅲ）求二面角F-BD-A的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證EF⊥平面BCE，根據線面垂直的判定定理可知只需證EF⊥BE，BC⊥EF，BC∩BE=B，根據條件很顯然；
（2）取BE的中點N，連接CN，MN，易證PM∥CN，根據線面平行的判定定理很快得證；
（3）作FG⊥AB，交BA的延長線于G，作GH⊥BD于H，連接FH，易證∠FHG為二面角F-BD-A的平面角，在Rt△FGH中求出此角即可．
解答：解：因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF
所以BC⊥EF
因為△ABE為等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因為∠AEF=45，
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE
因為BC?平面ABCD，BE?平面BCE，
BC∩BE=B
所以EF⊥平面BCE

（ II）取BE的中點N，連接CN，MN，則MN==PC
∴PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN
∵CN在平面BCE內，PM不在平面BCE內，
∴PM∥平面BCE．

（III）由EA⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，易知EA⊥平面ABCD、
作FG⊥AB，交BA的延長線于G，則FG∥EA、從而FG⊥平面ABCD，
作GH⊥BD于H，連接FH，則由三垂線定理知BD⊥FH、
∴∠FHG為二面角F-BD-A的平面角、
∵FA=FE，∠AEF=45°，
∠AEF=90°，∠FAG=45°、
設AB=1，則AE=1，AF=，則
在Rt△BGH中，∠GBH=45°，BG=AB+AG=1+=，
，
在Rt△FGH中，，
∴二面角F-BD-A的大小為
點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．