Question

選修4-5：不等式選講
設f（x）=|x-a|，a∈R．
（I）當-1≤x≤3時，f（x）≤3，求a的取值范圍；
（II）若對任意x∈R，f（x-a）+f（x+a）≥1-2a恒成立，求實數a的最小值．

Answer 1

分析：（I）當-1≤x≤3時，f（x）=|x-a|≤3，即a-3≤x≤a+3．由此建立關于a的不等關系能求出a的取值范圍．
（II）根據絕對值不等式的性質得|x-2a|+|x|最小值就是2|a|，若f（x-a）+f（x+a）≥1-2a對x∈R恒成立，則只要滿足2|a|≥1-2a，由此能求出實數a的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x-a|≤3，即a-3≤x≤a+3．
依題意，

a-3≤-1 a+3≥3

由此得a的取值范圍是[0，2]．…（4分）
（Ⅱ）f（x-a）+f（x+a）=|x-2a|+|x|≥|（x-2a）-x|=2|a|．…（6分）
當且僅當（x-2a）x≤0時取等號．
解不等式2|a|≥1-2a，得a≥

1

4

．
故a的最小值為

1

4

．…（10分）

點評：本題考查不等式的解集的求法，考查滿足條件的實數的最小值的求法，解題時要認真審題，注意零點分段討論法和絕對值不等式性質的合理運用．