Question

（1）若拋物線的焦點是橢圓

x2

64

+

y2

16

=1的左頂點，求此拋物線的標準方程；
（2）若雙曲線與橢圓

x2

64

+

y2

16

=1有相同的焦點，與雙曲線

y2

2

-

x2

6

=1有相同漸近線，求此雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析：（1）先根據橢圓中的a的值求得c值，從而出左頂點的坐標，再根據拋物線的頂點在坐標原點，焦點是 （-8，0）的位置，求得拋物線方程中的p，拋物線方程可得．
（2）由題意得，c=4

3

，

b

a

=

4

3

，48=a²+b²，解出a和b的值，即得所求的雙曲線的標準方程．

解答：解：（I）橢圓

x2

64

+

y2

16

=1的左頂點為（-8，0），
∴拋物線的焦點為（-8，0），（2分）
設拋物線方程為y²=-2px（p＞0），
則-

p

2

=-8，p=16，（4分）
∴所求拋物線的標準方程為y²=-32x．（6分）
（II）橢圓

x2

64

+

y2

16

=1的焦點為F1(-4

3

，0)，F2(4

3

，0)，（8分）
雙曲線

y2

2

-

x2

6

=1的漸近線方程為y=±

3

3

x，（10分）
設所求雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由題意知：

a2+b2=48 b a = 3 3

（12分）
∴

a2=36 b2=12

∴所求雙曲線方程為

x2

36

-

y2

12

=1．（14分）

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質和拋物線的標準方程．解答的關鍵在于考生對圓錐曲線的基礎知識的把握．