Question

若定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）同時滿足：①f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，則f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．則稱函數(shù)f（x）為“夢函數(shù)”．
（1）試驗證f（x）=2^x-1在區(qū)間[0，1]上是否為“夢函數(shù)”；
（2）若函數(shù)f（x）為“夢函數(shù)”，求f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）的解析式，依次判斷對于三個條件是否成立，對于①求出值域即可判斷，對于②代入求值即可，對于③作差化簡判斷符號即可，從而得到答案；
（2）根據(jù)“夢函數(shù)”的定義，利用條件③，可以證明f（x）在[0，1]上為單調遞增函數(shù)，再利用①②，求出f（0）和f（1），即可得到函數(shù)f（x）的最值．

解答：解：（1）∵x∈[0，1]，則2^x-1∈[0，1]，且f（1）=2¹-1=1，
∴滿足①f（x）≥0，②f（1）=1，
∵x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，
∴f（x₁+x₂）-[f（x₁）+f（x₂）]=2x1+x2-2x1-2x2+1=（2x1-1）（2x2-1）≥0，
∴滿足③若x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，則f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
故函數(shù)f（x）=2^x-1在區(qū)間[0，1]上是“夢函數(shù)”；
（2）根據(jù)題意中“夢函數(shù)”應該滿足的條件，則有任意的x₁，x₂∈[0，1]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₂-x₁+x₁）≤f（x₁）-[f（x₁）+f（x₂）]=-f（x₂）≤0，
∴f（x₁）≤f（x₂），
∴f（x）在[0，1]上單調遞增，
令x₁=x₂=0，
∵x₁≥0，x₂≥0且x₁+x₂≤1，則f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，
∴f（0）≥2f（0），又f（x）≥0，
∴f（0）=0，
∴當x=0時，f（x）取最小值f（0）=0，
當x=1時，f（x）取最大值f（1）=1．

點評：本題考查了新定義問題，要注意應用定義中所給的信息．同時考查了抽象函數(shù)的應用，涉及了應用函數(shù)單調性的定義證明函數(shù)的單調性，涉及了求函數(shù)的值域問題，是一個綜合應用的題目．屬于中檔題．