Question

已知等式：cos²61°+sin²31°+cos61°sin31°=acos²20°+sin²10°-cos20°sin10°=a．
（1）根據(jù)以上所給的等式寫出一個具有一般性的等式，并指出實數(shù)a的值；
（2）證明你所寫的等式．

Answer 1

分析：（1）將已知兩等式變形后，依此類推得到cos²60°+sin²30°+cos60°sin30°=a，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡后求出a的值，歸納總結(jié)得到一般性的結(jié)論即可；
（2）找出的等式左邊利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡，得到結(jié)果為

3

4

，得證．

解答：解：（1）∵cos²61°+sin²31°+cos61°sin31°=a，
cos²20°+sin²10°-cos20°sin10°=a，
∴cos²61°+sin²（61°-30°）+cos61°sin（61°-30°）=a，
cos²20°+sin²（20°-30°）+cos20°sin（20°-30°）=a
由此猜測有：cos²60°+sin²30°+cos60°sin30°=a，即得a=

3

4

，
則一般性結(jié)論為cos²α+sin²（α-30°）+cosαsin（α-30°）=

3

4

；
（2）證明：cos²α+sin²（α-30°）+cosαsin（α-30°）
=cos²α+（sinαcos30°-cosαsin30°）²+cosα（sinαcos30°-cosαsin30°）
=cos²α+

3

4

sin²α-

3

2

sinαcosα+

1

4

cos²α+

3

2

sinαcosα-

1

2

cos²α
=

3

4

（sin²α+cos²α）=

3

4

，
則cos²α+sin²（α-30°）+cosαsin（α-30°）=

3

4

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．