Question

如圖，在體積為1的三棱錐A-BCD側棱AB、AC、AD上分別取點E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，記O為三平面BCG、CDE、DBF的交點，則三棱錐O-BCD的體積等于（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：畫出圖形，三棱錐O-BCD的體積，轉化為線段的長度比，充分利用直線的平行進行推到，求出比例即可．
解答：解：AA'為正三棱錐A-BCD的高；OO'為正三棱錐O-BCD的高
因為底面△BCD相同，則它們的體積比為高之比
已知三棱錐A-BCD的體積為1
所以，三棱錐O-BCD的體積為：…（1）
由前面知，FG∥CD且=
所以由平行得到，==所以，[面BCG所在的平面圖如左上角簡圖]
同理，
則，
所以，PN∥BC
那么，亦即，設GQ=x
那么，GT=x
則，QT=GQ-GT=x-而，所以：
則，TO=QT=x=
所以：GO=GT+TO=所以，OQ=GQ-GO=x-
又，
所以，…（2）
且，
所以：…（3）
由（2）*（3）得到：代入到（1）得到：
三棱錐O-BCD的體積就是
點評：本題考查學生對三棱錐的認識，以及必要的輔助線的作法，是難題．