Question

設f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數,且f(x+2)=-f(x),下面關于f(x)的判定:其中正確命題的序號為　　　　.

①f(4)=0;

②f(x)是以4為周期的函數;

③f(x)的圖象關于x=1對稱;

④f(x)的圖象關于x=2對稱.

 

Answer 1

①②③

【解析】∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4),

即f(x)的周期為4,②正確.

∴f(4)=f(0)=0(∵f(x)為奇函數),即①正確.

又∵f(x+2)=-f(x)=f(-x),

∴f(x)的圖象關于x=1對稱,∴③正確.

又∵f(1)=-f(3),當f(1)≠0時,顯然f(x)的圖象不關于x=2對稱,∴④錯誤.