Question

17、某企業生產的一批產品中有一、二、三等品及次品共四個等級，1件不同等級產品的利潤（單位：元）如表1，從這批產品中隨機抽取出1件產品，該件產品為不同等級的概率如表2．若從這批產品中隨機抽取出的1件產品的平均利潤（即數學期望）為4.9元．

等級	一等品	二等品	三等品	次品
P	0.6	a	0.1	b

表1   

等級	一等品	二等品	三等品	次品
利潤	6	5	4	-1

表2
（1）求a，b的值；
（2）從這批產品中隨機取出3件產品，求這3件產品的總利潤不低于17元的概率．

Answer 1

分析：（1）根據題意寫出ξ的分布列，表示出變量的期望值，根據分布列的性質及各個變量的概率之和是1，和期望值列出關于a，b的方程組，解方程組即可．
（2）所取出的3件產品的總利潤不低于17元，表示這3件產品可以有兩種取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品．這兩種情況是互斥的，根據互斥事件的概率公式得到結果．

解答：解：（1）設1件產品的利潤為隨機變量ξ，
依題意得ξ的分布列為：

ξ	6	5	4	-1
P	0.6	a	0.1	b

∴Eξ=6×0.6+5a+4×0.1-b=4.9，即5a-b=0.9．
∵0.6+a+0.2+0.1+b=1，即a+b=0.3，
解得a=0.2，b=0.1．
∴a=0.2，b=0.1．
（2）為了使所取出的3件產品的總利潤不低于17元，則這3件產品可以有兩種取法：3件都
是一等品或2件一等品，1件二等品．
故所求的概率P=0.6³+C₃²×0.6²×0.2=0.432．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望值的應用，是一個用方程的思想來解決分布列問題的題目，解題的關鍵是熟練應用分布列的性質．